по предложению Паткуля — из Саксонии отправились делегации с предложениями в Москву и Копенгаген. - Да, внешняя сторона такова.
Фактически все было предрешено " на заседании партбюро" в Раве-Русской, когда монархи для начала поверили друг другу на слово, и потом отдали все дипломатам оформлять.
А без такой дипломатии можно было бы тупить и дальше, оставить антишведский союз без своего участия, и, как следствие, для последующего разгрома, без Петербурга и прилегающих земель.

Ну а когда шведов побили, союзники радостные - да так получилось, что даже без короля союзники радостные вряд ли бы побили шведское войско без участия российских войск. Швеция была очень крепким орешком, и его разгрызть было сложно даже коалиции, куда там пообночке.